Формулы сокращённого умножения

ОСНОВНЫЕ ТЕМЫ

Квадрат суммы и квадрат разности

Разность квадратов

Куб суммы и куб разности

Сумма кубов

Разность кубов

Квадрат суммы и квадрат разности

1) Докажем, что при любых значениях a и b верно равенство 
                                    (a+b) 2=a 2+b 2+2ab 
                        или     (a+b) 2=a 2+2ab+b 2.   
    Доказательство. 
        (a+b) 2=(a+b)(a+b)=a 2+ab+ab+b 2=a 2+b 2+2ab. 
Если в эту формулу вместо a и b подставить какие-нибудь выражения,  то опять получится тождество. 

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений  плюс удвоенное произведение первого и второго выражений.    

2) Докажем, что при любых значениях a и b верно равенство 
                                  (a−b) 2=a 2+b 2−2ab 
                        или     (a−b) 2=a 2−2ab+b 2.   
      Доказательство. 
          (a−b) 2=(a−b)(a−b)=a 2−ab−ab+b 2=a 2+b 2−2ab. 

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений  минус удвоенное произведение первого и второго выражений.    

Разность квадратов

 При любых значениях a и b верно равенство 
                          (a−b)(a+b)=a 2−b 2 .   

 Доказательство. 

             (a−b)(a+b)   =   a 2+ab−ab−b 2   =   a 2−b 2    

Куб суммы и куб разности

(a+b) 3   =   a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 .  

Доказательство.    

 (a+b) 3     =     (a+b)(a 2+2ab+b 2)   =   a 3+2a 2b+ab 2   +   a 2b+2ab 2+b 3    =   a 3+3a 2b+3ab 2+b 3    

(a−b) 3   =   a 3−3a 2b+3ab 2−b 3 .                  

 Доказательство.   

 (a−b) 3     =     (a−b)(a 2−2ab+b 2)   =  a 3−2a 2b+ab 2   −   a 2b+2ab 2−b 3   =    a 3−3a 2b+3ab 2−b 3    

Сумма кубов и разность кубов

 Выражения вида 
                        a 2−ab+b 2   и   a 2+ab+b 2 
называют соответственно неполным квадратом разности   и неполным квадратом суммы (сравните их с квадратом разности   и квадратом суммы). 

                      a 2−2ab+b 2   и   a 2+2ab+b 2    

(a+b)(a 2−ab+b 2)   =   a 3+b 3 .    

(a−b)(a 2+ab+b 2)   =   a 3−b 3 .   

ЗАДАНИЯ  

ЗАДАНИЕ 1

ЗАДАНИЕ 2

ЗАДАНИЕ 3

ЗАДАНИЕ 4